我國數學史上有一部堪與歐幾里得《幾何原本》媲美的書，這就是歷來被尊為算經之首的《九章算術》。它是我國現存最早的數學專著，其傳本包括《九章算術》本文、曹魏劉徽注、唐初李淳風等注釋三部分內容。
《九章算術》集先秦至西漢我國數學知識之大成，其編纂也是集體勞動的成果。根據劉徽的記載，《九章算術》是從先秦"九數"發展來的。暴秦焚書，經術散壞。西漢張蒼（？-前152年）、耿壽昌（前1世紀）收集遺文殘稿，加以刪補整理，編成《九章算術》。
《九章算術》包括了近百條一般性的抽象公式、解法，246個應用問題，分屬方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、勾股九章。
方田章提出了各種多邊形、圓、弓形等的面積公式；分數的通分、約分和加減乘除四則運算的完整法則。后者比歐洲早1400多年。
粟米章提出比例算法，稱為今有術；衰分章提出比例分配法則，稱為衰分術；商功章除給出了各種立體體積公式外，還有工程分配方法；均輸章用衰分術解決賦役的合理負擔問題。今有術、衰分術及其應用方法，構成了包括今天正、反比例、比例分配、復比例、連鎖比例在內的整套比例理論。西方直到15世紀末以后才形成類似的全套方法。
少廣章介紹了開平方、開立方的方法，其程序與現今程序基本一致。這是世界上最早的多位數和分數開方法則。它奠定了我國在高次方程數值解法方面長期領先世界的基礎。
盈不足章提出了盈不足、盈適足和不足適足、兩盈和兩不足三種類型的盈虧問題，以及若干可以通過兩次假設化為盈不足問題的一般問題的解法。這也是處于世界領先地位的成果，傳到西方后，影響極大。
方程章采用分離系數的方法表示線性方程組，相當于現在的矩陣；解線性方程組時使用的直除法，與矩陣的初等變換一致。這是世界上最早的完整的線性方程組的解法。在西方，直到17世紀才由萊布尼茲提出完整的線性方程的解法法則。這一章還引進和使用了負數，并提出了正負術——正負數的加減法則，與現今代數中法則完全相同；解線性方程組時實際還施行了正負數的乘除法。這是世界數學史上一項重大的成就，第一次突破了正數的范圍，擴展了數系。外國則到7世紀印度的婆羅摩及多才認識負數。
《九章算術》確定了中國古代數學的框架，以計算為中心的特點，密切聯系實際，以解決人們生產、生活中的數學問題為目的的風格。其影響之深，以致以后我國數學著作大體采取兩種形式：或為之作注，或仿其體例著書；甚至西算傳入中國之后，人們著書立說時還常常把包括西算在內的數學知識納入"九章"的框架。
然而，《九章算術》亦有其不容忽視的缺點：沒有任何數學概念的定義，也沒有給出任何推導和證明。魏景元四年（263年），劉徽給《九章算術》作注，才大大彌補了這個缺陷。
劉徽是我國也是世界歷史上最偉大的數學家之一。遺憾的是，他的生平我們現在知之甚少。據考證，他是山東鄒平人。劉徽定義了若干數學概念，全面論證了《九章算術》的公式解法，提出了許多重要的思想、方法和命題，他在數學理論方面成績斐然。
劉徽對數學概念的定義抽象而嚴謹。他揭示了概念的本質，基本符合現代邏輯學和數學對概念定義的要求。而且他使用概念時亦保持了其同一性。如他提出"凡數相與者謂之率"，把"率"定義為數量的相互關系。又如他把正負數定義為"今兩算得失相反，要令正負以名之"，擺脫了正為余，負為欠的原始觀念，從本質上揭示了正負數得失相反的相對關系。
《九章算術》的算法盡管抽象，但相互關系不明顯，顯得零亂。劉徽大大發展深化了中算中久已使用的率概念和齊同原理，把它們看作運算的綱紀。許多問題，只要找出其中的各種率關系，通過"乘以散之，約以聚之，齊同以通之"，都可以歸結為今有術求解。
一平面（或立體）圖形經過平移或旋轉，其面積（或體積）不變。把一個平面（或立體）圖形分解成若干部分，各部分面積（或體積）之和與原圖形面積（或體積）相等。基于這兩條不言自明的前提的出入相補原理，是我國古代數學進行幾何推演和證明時最常用的原理。劉徽發展了出入相補原理，成功地證明了許多面積、體積以及可以化為面積、體積問題的勾股、開方的公式和算法的正確性。 故以半周乘半徑而為圓冪"。從明證明了S＝l/2·r。劉批評了以往"圓徑一而周三"的錯誤，指出此公式中周徑是"至然之數"，即圓周率π。他以此公式為基礎，求出了π的兩個近似值157/20和3927/1250，在中國首次創立了求圓周率的科學方法，奠定了我國圓周率研究在世界長期領先的基礎。
劉徽注關于體積問題的論述已經接觸到現代體積理論的核心問題，指出四面體體積的解決是多面體體積理論的關鍵，而用有限分割和棋驗法無法解決其體積。為了解決這個問題，他提出了一個重要原理"邪解壍堵，其一為陽馬，一為鱉臑。
陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也"，今稱為劉徽原理。劉徽平分壍堵的長、寬、高，通過出入相補，可以證明在壍堵的3/4中上述原理成立；而剩余的1/4與原壍堵的結構相同，可以重復上述分割，又可以證明其3/4中這個原理成立。這個過程可以無限繼續下去，"半之彌少，其余彌細。至細曰微，微則無形。由是言之，安取余哉？"完成了該原理的證明。由壍堵的體積公式v＝1/2abh，便證明《九章算術》提出的陽馬體積公式v＝1/3abh，鱉臑的體積公式v＝1/6abh。近代數學大師高斯、希爾伯特才討論這個問題，已是近100多年以來的事。
劉徽注多方面表述了今天稱之為祖暅之原理的命題，并由此證明了《九章算術》中球體積公式的錯誤。他設計了牟合方蓋，指出球與牟合方蓋的體積之比是π∶4，只要求出后者的體積就可以求出球體積了。他盡管沒能求出牟合方蓋的體積，但誠懇地表示"以俟能言者"，表現出一位偉大學者的坦蕩胸懷。這個問題后來由祖沖之父子徹底解決，李淳風注釋《九章算術》時詳細記述了祖氏的方法。
劉徽注中還有不少有價值的成就。如對開方不盡，提出繼續開方，求其"微數"，以十進分數逼近無理根，開十進小數之先河；他還認識到不定方程有無窮多組解，等等。劉徽注形成了一套數學體系，他說"事類相推，各有攸歸，故枝條雖分而同本干知，發其一端而已。"把數學看作一株枝條雖然分開但本干相同的大樹。他認為數學是"規矩"與"度量"亦即空間形式與數量關系的統一。基于這些深刻的認識，他的證明除個別失誤外，都論點明確，論據充分，條理清晰，推理嚴謹；而且大都使用演繹推理，沒有循環論證。是嚴格的數學證明。有了劉徽的證明。《九章算術》的公式解法，才建立在真實可靠的基礎上。
《九章算術》及其劉徽注，以杰出的數學成就，獨特的數學體系。不僅對東方數學，而且對整個世界數學的發展產生了深遠的影響，在科學史上占有極為重要的地位。它的出現，標志著從公元前1世紀開始，中國取代古希臘成為世界數學的中心，為此后中國數學領先世界1500多年奠定了基礎。今天，隨著計算機的出現和發展，它所蘊含的算法和程序化思想，仍給數學家以啟迪。吳文俊先生指出"《九章》所蘊含的思想影響，必將日益顯著，在下一世紀中凌駕于《原本》思想體系之上，不僅不無可能，甚至說是殆成定局，本人認為也絕非過甚妄測之辭。"
浙公網安備 33010802003509號
杭州講師網絡科技有限公司
